高等数学例题精解

解

第一步：求向量坐标

$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2-1,\ 3-2,\ 5-3)=(-3,1,2)$。

第二步：求模

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+1^2+2^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$。

第三步：求方向余弦

方向余弦就是向量各分量除以模：

验证：$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\dfrac{9+1+4}{14}=1$，正确。

同类题延伸：方向余弦题的常见变式——给定方向余弦求向量（需知道模）、给定两个方向角求第三个（用 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$）。注意 $\cos\gamma$ 有正负两种可能。

解

第一步：算点积

$\vec a\cdot\vec b=1\times(-2)+3\times1+1\times1=-2+3+1=2$。

第二步：算各自的模

$|\vec a|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$，$|\vec b|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$。

第三步：代入夹角公式

同类题延伸：夹角题的关键是「先点积、后代公式」。如果题目给了 $|\vec a|,|\vec b|,\vec a\cdot\vec b$ 的关系（不给坐标），直接用这些量算 $\cos\theta$。判断平行用叉积为零，判断垂直用点积为零。

解

$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$：

同类题延伸：「垂直求参数」是最基础的向量方程题。变式：若改为「平行」，则用 $\vec a\times\vec b=\vec 0$（或分量成比例 $a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3$）。若改为「夹角为某值」，则用 $\cos\theta$ 公式列方程。

解

第一步：叉积求垂直方向

第二步：求模

$|\vec a\times\vec b|=\sqrt{4+9+49}=\sqrt{62}$。

第三步：单位化

所求单位向量有两个方向：

同类题延伸：「同时垂直」= 叉积方向。「单位向量」= 除以模再加 $\pm$。考试中如果忘了叉积行列式，可以用「按第一行展开」的记忆法。

解

面积 $=|\vec a\times\vec b|$。由上题 $\vec a\times\vec b=(2,-3,7)$。

同类题延伸：平行四边形面积 $=|\vec a\times\vec b|$，三角形面积 $=\dfrac{1}{2}|\vec a\times\vec b|$。如果题目反过来——已知面积和一个向量求另一个向量的某个分量，就设未知分量列方程 $|\vec a\times\vec b|=$ 面积。

解

求 $|\vec a-2\vec b|$：用 $|\vec v|^2=\vec v\cdot\vec v$ 展开：

故 $|\vec a-2\vec b|=\sqrt{29}$。

求 $|\vec a\times\vec b|$：不知道坐标，用恒等式：

故 $|\vec a\times\vec b|=\sqrt{5}$。

同类题延伸：「不知道坐标、只知道模和点积」类题的通用套路：(1) 求模的平方 → 展开成 $|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$ 等；(2) 求叉积的模 → 用 $|\vec a\times\vec b|^2=|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2$。这两个公式是这类题的万能钥匙。

解

第一步：求两个方向向量

$\overrightarrow{AB}=(-2-1,\ 1-3,\ 1-1)=(-3,-2,0)$。

$\overrightarrow{AC}=(5-1,\ 2-3,\ 3-1)=(4,-1,2)$。

第二步：叉积求法向量

第三步：点法式，过 $A(1,3,1)$：

展开：$-4x+4+6y-18+11z-11=0$，即 $-4x+6y+11z-25=0$。

同类题延伸：三点求平面是必考题型。套路固定：(1) 取一点为基准，算两个方向向量；(2) 叉积得法向量；(3) 点法式。变式：若四点共面，则 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AD}$ 的点积为零（混合积为零）。

解

分析条件：

• 「平行于直线」→ 直线方向 $\vec s=(2,-1,3)$ 在所求平面内
• 「垂直于平面 $3x+y-2z=1$」→ 该平面法向量 $\vec n_0=(3,1,-2)$ 也在所求平面内

求法向量：$\vec n=\vec s\times\vec n_0$：

点法式，过 $A(1,3,1)$：

同类题延伸：「过点 + 平行于某线 + 垂直于某面」是平面方程的经典综合题。关键理解：「平行于直线」= 直线方向在平面内，「垂直于某面」= 某面法向量在平面内。两个「在平面内的向量」叉积 = 所求平面的法向量。

解

平面方程 $3x+y-2z-1=0$，故 $A=3,B=1,C=-2,D=-1$。

代入距离公式：

同类题延伸：点到面距离是送分题，但容易在「化一般式」时出错——如果平面方程是点法式，先展开再代公式。变式：求到两平行平面等距的平面，本质是设点列方程。

解

$\vec n_1=(2,-1,1),\ \vec n_2=(3,1,-2)$。

点积：$\vec n_1\cdot\vec n_2=6-1-2=3$。

各自的模：$|\vec n_1|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$，$|\vec n_2|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$。

同类题延伸：面面夹角题本质就是法向量夹角。注意取绝对值保证锐角。如果求「二面角」（不取锐角），则不用绝对值，需根据几何关系判断正负。

解

方向：$\vec s=\overrightarrow{AB}=(-3,-2,0)$。

$z$ 分量为 $0$ 说明直线平行于 $xOy$ 平面（$z$ 坐标恒为 $1$）。

对称式，过 $A(1,3,1)$：

同类题延伸：两点确定直线是最基础题。注意方向向量的零分量要单独处理。变式：若两点的某个坐标相同（如 $z$ 都是 $1$），则直线在等值面上（$z=1$），这是快速判断的方法。

解

分析条件：

• 「垂直于直线」→ 方向 $\vec s$ 垂直于 $\vec s_1=(2,-1,3)$
• 「平行于平面」→ 方向 $\vec s$ 垂直于平面法向量 $\vec n_0=(3,1,-2)$（直线在平面内或平行于平面）

$\vec s$ 同时垂直于 $\vec s_1$ 和 $\vec n_0$，故：

过 $A(1,3,1)$：

同类题延伸：「垂直于线 + 平行于面」类题与 1.8（平面方程的同类条件）用的是同一个叉积。区别只在于 1.8 求的是平面（用法向量），1.12 求的是直线（用方向向量）。叉积结果一样，后续用途不同。

解

第一步：在直线上取一点。令 $t=0$ 得 $P(0,-1,3)$。方向 $\vec s=(2,-1,3)$。

第二步：算 $\overrightarrow{PA}$

$\overrightarrow{PA}=A-P=(1,4,-2)$。

第三步：叉积

第四步：代入公式

同类题延伸：点到线距离的计算量主要在叉积，注意行列式展开时的正负号。另一种思路：过点作直线的垂面，求垂足，再算距离——但叉积法更快。

解

$\vec s_1=(2,-1,3),\ \vec s_2=(1,3,2)$。

点积：$\vec s_1\cdot\vec s_2=2-3+6=5$。

模：$|\vec s_1|=\sqrt{14}$，$|\vec s_2|=\sqrt{14}$。

同类题延伸：线线夹角和面面夹角公式完全一样（都是两个向量的夹角），区别只是用方向向量还是法向量。取绝对值保证锐角。

解

$\vec s=(2,-1,3),\ \vec n=(3,1,-2)$。

点积：$\vec s\cdot\vec n=6-1-6=-1$。

模：$|\vec s|=\sqrt{14}$，$|\vec n|=\sqrt{14}$。

线面夹角 $\varphi$ 满足（注意是 $\sin$）：

同类题延伸：线面夹角用 $\sin$ 的原因——线面角 $\varphi$ 和「方向向量与法向量的夹角 $\alpha$」互余（$\varphi+\alpha=90°$），所以 $\sin\varphi=\cos\alpha=\dfrac{|\vec s\cdot\vec n|}{|\vec s||\vec n|}$。记忆口诀：「线面用 sin，线线面面用 cos」。

解

第一步：直线转两平面联立。设 $t=\dfrac{x}{2}$，则 $y=-1-t,\ z=3+3t$。

消 $t$：$t=\dfrac{x}{2}$，$y=-1-\dfrac{x}{2}$ → $x+2y+2=0$；$z=3+\dfrac{3x}{2}$ → $3x-2z+6=0$。

直线 $=\begin{cases}x+2y+2=0\\3x-2z+6=0\end{cases}$，记 $\pi_1,\pi_2$。

第二步：平面束

$\pi_1+\lambda\pi_2=0$：$(1+3\lambda)x+2y-2\lambda z+(2+6\lambda)=0$。

法向量 $\vec n=(1+3\lambda,\ 2,\ -2\lambda)$。

第三步：夹角条件

已知平面法向量 $\vec n_0=(3,1,-2)$，$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$：

$\vec n\cdot\vec n_0=3(1+3\lambda)+2+4\lambda=5+13\lambda$。

$|\vec n_0|=\sqrt{14}$。$|\vec n|^2=(1+3\lambda)^2+4+4\lambda^2=13\lambda^2+6\lambda+5$。

平方：$\dfrac{(5+13\lambda)^2}{14(13\lambda^2+6\lambda+5)}=\dfrac{1}{4}$。

$4(25+130\lambda+169\lambda^2)=14(13\lambda^2+6\lambda+5)$。

$100+520\lambda+676\lambda^2=182\lambda^2+84\lambda+70$。

$494\lambda^2+436\lambda+30=0$，即 $247\lambda^2+218\lambda+15=0$。

$\lambda=\dfrac{-218\pm\sqrt{218^2-4\times247\times15}}{2\times247}=\dfrac{-218\pm\sqrt{47524-14820}}{494}=\dfrac{-218\pm\sqrt{32704}}{494}$。

同类题延伸：平面束题的难点不在思路，在计算。关键步骤是「直线转两平面联立」——如果这步出错，后面全错。简化技巧：选择消参方式时，优先选系数简单的分量（如 $z$ 分量为 $0$ 时直接得到一个平面）。

解

规则：绕 $z$ 轴旋转，保留 $z$，把 $y^2$ 替换为 $x^2+y^2$。

原方程 $y^2-2z=1$ → 替换 $y^2\to x^2+y^2$：

同类题延伸：旋转曲面题的关键是分清「绕哪个轴」和「原曲线在哪个面」。绕 $z$ 轴：$y^2\to x^2+y^2$（或 $x^2\to x^2+y^2$）；绕 $x$ 轴：$y^2\to y^2+z^2$；绕 $y$ 轴：$x^2\to x^2+z^2$。记住：把非旋转轴的变量平方和替换进去。

解

绕 $x$ 轴旋转：保留 $x$，用 $y^2+z^2$ 表示。

由参数方程：$t=x$（从 $x=t$ 得到）。

$y^2+z^2=(2t)^2+(t^2)^2=4t^2+t^4=4x^2+x^4$。

同类题延伸：参数方程曲线绕轴旋转的步骤：(1) 从参数方程中消参（这里是 $t=x$）；(2) 算 $y^2+z^2$（绕 $x$ 轴）并表示为 $x$ 的函数。如果参数方程复杂（如含三角函数），可能需要保留参数形式。

解

思路：消去 $z$ 得到投影柱面，再与 $z=0$ 联立。

第一步：由第一式表示 $z$。记 $u=x^2+y^2$，则 $z=\dfrac{u-1}{2}$。

第二步：代入第二式

$(u+5)(u-3)=0$，$u=3$（$u=-5$ 舍去，因为 $u=x^2+y^2\ge0$）。

第三步：投影

交线满足 $x^2+y^2=3,\ z=1$。投影到 $xOy$ 平面（$z=0$）：

同类题延伸：投影曲线的标准做法：(1) 联立两曲面方程；(2) 消去要投影掉的变量（这里是 $z$）得到投影柱面方程；(3) 投影 = 投影柱面 $\cap$ 坐标面。注意消元过程中可能产生增根（如 $u=-5$），要结合实际意义判断取舍。

详解

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解

关键观察：$\iint_D f\,\mathrm d\sigma$ 是一个常数（积分结果不含 $x,y$），设为 $A$。

则 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{2}{\pi}A$。

两边在 $D:x^2+y^2\le1$ 上积分：

算 $\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm d\sigma$：极坐标，$\sqrt{x^2+y^2}=r$，$\mathrm d\sigma=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$：

解方程：$A=\dfrac{2\pi}{3}-2A$ → $3A=\dfrac{2\pi}{3}$ → $A=\dfrac{2\pi}{9}$。

同类题延伸：「$f=$ 某表达式 $+C\cdot\iint_D f$」是经典题型。核心技巧：设 $\iint_D f=A$（常数），两边积分解方程。不管 $f$ 多复杂，$\iint_D f$ 始终是一个数。变式：有时常数因子藏在被积函数的某个部分里，需要拆出来。

解

关键：在积分区域 $D$ 上判断被积函数的大小关系。

$D$ 上 $x+y\ge1$，故 $x+y\ge1$。

当 $t\ge1$ 时 $t^2\ge t$，所以 $(x+y)^2\ge(x+y)$ 在 $D$ 上恒成立。

由积分保号性：

同类题延伸：比较积分大小题的套路：在积分区域上比较被积函数，然后用保号性。关键是正确分析区域上的不等式关系。常见陷阱：$x+y$ 可能小于 $1$ 时 $(x+y)^2<(x+y)$，所以必须确认在 $D$ 上的情况。

证

找被积函数的上下界。分母 $1+2\cos^2x+3\sin^2y$：

• 最小值：$\cos^2x=0,\sin^2y=0$ → 分母 $=1$，被积函数 $=6$
• 最大值：$\cos^2x=1,\sin^2y=1$ → 分母 $=1+2+3=6$，被积函数 $=1$

故 $1\le\dfrac{6}{1+2\cos^2x+3\sin^2y}\le6$。

区域面积：$|D|=\pi\cdot3^2=9\pi$。

由估值定理：$1\times9\pi\le\iint\le6\times9\pi$，即 $9\pi\le\iint\le54\pi$。$\blacksquare$

同类题延伸：估值定理证明题的套路：(1) 求被积函数的最小值 $m$ 和最大值 $M$；(2) 算区域面积 $|D|$；(3) $m|D|\le\iint\le M|D|$。难点在第一步——三角函数、指数函数的最值要算对。

解

利用对称性简化。$D$ 关于 $y$ 轴对称（$x\to -x$ 时区域不变）。

• $2x$ 关于 $x$ 为奇函数 → $\iint_D 2x\,\mathrm d\sigma=0$
• $xy\ln\dfrac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2}$：$x\to-x$ 时变为 $-xy\ln\dfrac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2}$，是关于 $x$ 的奇函数 → 积分 $=0$

故原积分 $=\iint_D 1\,\mathrm d\sigma=|D|=\pi$。

同类题延伸：对称性简化是重积分的高频技巧。判断步骤：(1) 看区域关于谁对称；(2) 把被积函数按对称性拆成奇函数部分 + 偶函数部分；(3) 奇函数部分积分 $=0$，偶函数部分 $=2\times$ 半区域积分。区域关于原点对称时判断 $f(-x,-y)$ 和 $f(x,y)$ 的关系。

解

平均值公式：$\bar f=\dfrac{1}{|D|}\iint_D f\,\mathrm d\sigma$。

算积分：极坐标，$D:0\le r\le2,0\le\theta\le2\pi$。

面积：$|D|=\pi\cdot2^2=4\pi$。

同类题延伸：平均值 $=\dfrac{\iint_D f}{|D|}$，这是定义。计算时选合适的坐标系——圆域用极坐标、矩形域用直角坐标。被积函数是 $x^2+y^2$ 时极坐标直接变成 $r^2$，特别方便。

解

画区域：三条线围成三角形。$y=x$ 和 $y=2x$ 在原点相交，$y=2$ 截 $y=x$ 于 $(2,2)$、截 $y=2x$ 于 $(1,2)$。

先 $x$ 后 $y$ 更方便：$0\le y\le2$，$\dfrac{y}{2}\le x\le y$。

内层积分（对 $x$）：

外层积分（对 $y$）：

同类题延伸：直线围成的三角形区域，选「先积哪个变量」的原则：让内层积分限尽量简单（最好是常数或只含一个变量的函数）。本题先 $x$ 后 $y$ 时 $x$ 的上下限都是 $y$ 的一次函数，最简单。

解

原次序：先 $x$ 后 $y$，$0\le y\le1$，$1-y\le x\le1+y^2$。

画区域：左边界 $x=1-y$（即 $y=1-x$），右边界 $x=1+y^2$（即 $y=\sqrt{x-1}$）。两线在 $(1,0)$ 相交。

换序（先 $y$ 后 $x$）：需要分两段：

• $0\le x\le1$：$y$ 从 $1-x$ 到 $1$（左边是斜线，上面是 $y=1$）
• $1\le x\le2$：$y$ 从 $\sqrt{x-1}$ 到 $1$（左边是抛物线，上面是 $y=1$）

同类题延伸：换序题的核心是「画图」。换序后如果 $x$ 的范围需要分段（边界曲线的交点把区间切开），就要写成多个积分之和。判断是否分段的方法：看在新的外层变量取不同值时，内层变量的上下限表达式是否相同。

解

识别问题：$\int\dfrac{\sin y}{3-y}\mathrm dy$ 无法用初等函数表示——必须换序！

画区域：$1\le x\le3$，$1\le y\le x$。这是三角形：$y=1,y=x,x=3$ 围成。

换序：$1\le y\le3$，$y\le x\le3$。

$(3-y)$ 抵消了！

同类题延伸：「内层积不出来 → 换序」是强制信号。换序后常常会出现「抵消」现象——分子分母恰好消去，这是因为出题人故意设计的。这类题的出题套路就是：先定一个好算的最终答案，倒推成「换个次序就能算」的形式。

解

识别：$\int\dfrac{\sin y}{y}\mathrm dy$ 不可积 → 先对 $x$ 积分。

区域：$y=x$ 和 $y^2=x$ 在 $(0,0),(1,1)$ 相交。先 $x$ 后 $y$：$0\le y\le1$，$y^2\le x\le y$。

分部积分：

第一项：$[-\cos y]_0^1=1-\cos1$。

第二项（分部）：$[-y\cos y]_0^1+\int_0^1\cos y\,\mathrm dy=-\cos1+\sin1$。

同类题延伸：$\dfrac{\sin y}{y}$、$e^{x^2}$、$\dfrac{1}{\ln x}$ 等函数的原函数不是初等函数，遇到这类被积函数必须调整积分次序，让这些函数在外层（只积一次）或被消掉。这是换序题最重要的信号。

解

极坐标：$\sqrt{x^2+y^2}=r$，$\mathrm d\sigma=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$，被积函数 $=r\cdot r=r^2$。

(1) 上半圆：$\theta\in[0,\pi],\ r\in[0,2]$。

(2) $x^2+y^2=2y$ → $r=2\sin\theta$。$x\ge0$ → $\theta\in[0,\pi/2]$：

$\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,\mathrm d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos^2\theta)\sin\theta\,\mathrm d\theta$。令 $u=\cos\theta$：$=\int_0^1(1-u^2)\mathrm du=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$。

结果 $=\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{9}$。

(3) $x^2+y^2=2x$ → $r=2\cos\theta$。$y\ge0$ → $\theta\in[0,\pi/2]$：

同类题延伸：极坐标积分的三个关键：(1) 确定 $\theta$ 范围——看区域在哪个象限/半平面；(2) 确定 $r$ 范围——从 $0$ 到边界曲线；(3) $\sin^3\theta$ / $\cos^3\theta$ 在 $[0,\pi/2]$ 上的积分是常用值，建议记牢 $\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\mathrm d\theta$ 的递推公式。

解

选柱面坐标：$\Omega$ 是旋转抛物面和平面围成的区域。

$x^2+y^2=2z$ → $r^2=2z$ → $z=\dfrac{r^2}{2}$（下界）；上界 $z=2$。

$z=2$ 时 $r^2=4$ → $r\le2$。$\theta\in[0,2\pi]$。

积分限：$\dfrac{r^2}{2}\le z\le2$，$0\le r\le2$，$0\le\theta\le2\pi$。

被积函数 $x^2+y^2=r^2$，$\mathrm dv=r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$。

同类题延伸：柱面坐标三重积分的步骤：(1) 确定 $z$ 的上下限（从下曲面到上曲面）；(2) 把 $z$ 的范围投影到 $xOy$ 面，确定 $r,\theta$ 的范围；(3) 被积函数和体积元素都换成极坐标。旋转体 + 被积函数含 $x^2+y^2$ = 柱面坐标信号。

解

利用对称性。$\Omega$ 是单位球，关于三个坐标面都对称。

• $3y^3$：关于 $y$ 为奇函数 → $\iiint 3y^3=0$
• $-6z^5$：关于 $z$ 为奇函数 → $\iiint(-6z^5)=0$

只需算 $\iiint 3\,\mathrm dv+\iiint 2x^2\,\mathrm dv$。

$\iiint 3\,\mathrm dv$：$3\times$ 球体积 $=3\cdot\dfrac{4\pi}{3}=4\pi$。

$\iiint 2x^2\,\mathrm dv$：由轮换对称性，$\iiint x^2=\iiint y^2=\iiint z^2=\dfrac{1}{3}\iiint(x^2+y^2+z^2)$。

故 $\iiint x^2=\dfrac{4\pi}{15}$，$\iiint 2x^2=\dfrac{8\pi}{15}$。

同类题延伸：球域上的积分题，第一时间检查对称性。奇函数项直接为零。遇到 $x^2,y^2,z^2$ 时用轮换对称性把它们转化为 $\dfrac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)$，然后用球面坐标一步到位。

解

分析曲面：$z=\sqrt{8-x^2-y^2}$ 是上半球面（半径 $2\sqrt{2}$），$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 是上半圆锥面。

求交线：$\sqrt{8-r^2}=r$ → $8-r^2=r^2$ → $r^2=4$ → $r=2$。交线在 $z=2$ 的平面上。

在 $D:r\le2$ 内，上半球面在上方（$z=\sqrt{8-r^2}\ge r=$ 圆锥面）。

极坐标：

第一项：令 $u=8-r^2$，$\mathrm du=-2r\,\mathrm dr$：

第二项：$\int_0^2 r^2\,\mathrm dr=\dfrac{8}{3}$。

同类题延伸：两个曲面围成的体积题，步骤：(1) 联立求交线 → 确定投影区域；(2) 判断上下关系；(3) 上减下积分。如果交线是圆，用极坐标。如果两个曲面都是锥面/球面，交线计算通常能简化。

解

求偏导：$z_x=y,\ z_y=x$。

面积公式：

极坐标：$D:0\le r\le2,0\le\theta\le2\pi$。

令 $u=1+r^2$：

同类题延伸：曲面面积题的套路：(1) 求 $z_x,z_y$；(2) 代入面积公式；(3) 根据区域形状选坐标系。被积函数含 $x^2+y^2$ 且区域是圆 → 极坐标。变式：如果是参数曲面 $\vec r(u,v)$，用 $A=\iint|\vec r_u\times\vec r_v|\,\mathrm du\,\mathrm dv$。

解

(1) 裂项：

部分和：

保留的项（不被抵消的）：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$（前两项的正项）$-\dfrac{1}{N+1}-\dfrac{1}{N+2}$（后两项的负项）。

(2) 几何级数：$q=\dfrac{\ln2}{2}$。因为 $0<\ln2<1$，所以 $0 $$S=\frac{q}{1-q}=\frac{\ln2/2}{1-\ln2/2}=\frac{\ln2}{2-\ln2}.$$

同类题延伸：裂项题的万能检验——展开 $S_N$ 后，看「正项」和「负项」哪些能对消。一般规律：$\dfrac{1}{n(n+k)}$ 裂项后保留前 $k$ 个正项和最后 $k$ 个负项。几何级数收敛的条件是 $|q|<1$，写答案时先验证这一点。

解

(1) $\sum\cos\dfrac{1}{n}$：

$\lim_{n\to\infty}\cos\dfrac{1}{n}=\cos0=1\ne0$。通项不趋于零 → 发散。

(2) $\sum\dfrac{1}{n^3+2n-1}$：

极限比较法，取 $b_n=\dfrac{1}{n^3}$：

$\sum\dfrac{1}{n^3}$ 是 $p=3>1$ 的 $p$ 级数，收敛。故原级数收敛。

同类题延伸：判敛题的优先级：(1) 先看通项是否 $\to0$；(2) 不趋于零直接发散；(3) 趋于零时，与 $p$ 级数做极限比较（分母的最高次幂决定 $p$ 值）。$\cos\dfrac{1}{n}\to1$ 这种「看起来趋于零但其实不是」的陷阱，只要记住 $\cos0=1\ne0$ 就不会中招。

解

(1) $\sum\sin\dfrac{1}{n^2}$：等价无穷小 $\sin\dfrac{1}{n^2}\sim\dfrac{1}{n^2}$。

极限比较法：$\lim\dfrac{\sin(1/n^2)}{1/n^2}=1$。$\sum\dfrac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$），故收敛。

(2) $\sum\dfrac{1}{\ln n}$：与调和级数比较。

$n\ge3$ 时 $\ln n\dfrac{1}{n}$。

$\sum\dfrac{1}{n}$ 发散，由比较法，$\sum\dfrac{1}{\ln n}$ 发散。

同类题延伸：$\sin\dfrac{1}{n^p}\sim\dfrac{1}{n^p}$，$\ln(1+\dfrac{1}{n^p})\sim\dfrac{1}{n^p}$——含三角/对数的级数，用等价无穷小化简后再判敛。$\dfrac{1}{\ln n}$ 比 $\dfrac{1}{n}$ 大，所以比调和级数还「差」，必然发散。

解

(1) $\sum\dfrac{(\ln n)^3}{n^2}$：

核心事实：$\forall\epsilon>0$，$(\ln n)^3=o(n^{\epsilon})$（对数增长比任何正幂次都慢）。

取 $\epsilon=0.5$：$(\ln n)^3

$\sum\dfrac{1}{n^{1.5}}$ 收敛（$p=1.5>1$），故收敛。

(2) $\sum\dfrac{3^n\cdot n!}{n^n}$：含 $n!$ 和 $a^n$，用比值法。

$\dfrac{3}{e}\approx1.10>1$，比值大于 $1$ → 发散。

同类题延伸：(1) 含 $(\ln n)^k$ 的级数，核心工具是「$\ln n$ 增长比任何 $n^{\epsilon}$ 慢」——可以和任何 $p$ 级数比较（$p$ 稍微调小一点）。(2) 含 $n!$ 的级数必用比值法，且会用到 $\lim(1+1/n)^n=e$ 这个经典极限。

证

技巧：要证 $a_n\to0$，只需证 $\sum a_n$ 收敛（收敛级数的通项必趋于零）。

记 $a_n=\dfrac{2^n n!}{n^n}$，用比值法：

$\dfrac{2}{e}\approx0.74<1$ → $\sum a_n$ 收敛 → $a_n\to0$。$\blacksquare$

同类题延伸：「证明数列极限为零」的常用方法——把数列看作某级数的通项，证明级数收敛。比值法 $\rho<1$ 即可。这比直接用 $\epsilon-N$ 语言证明简单得多。注意对比 4.4(2)：$3/e>1$ 发散，而本题 $2/e<1$ 收敛——系数 $2$ vs $3$ 导致结论完全相反。

解

分离变量：$\dfrac{\mathrm dy}{y}=\dfrac{2x}{1+x^2}\mathrm dx$。

两边积分：

取指数：$|y|=e^{C_1}(1+x^2)$，即 $y=C(1+x^2)$（$C=\pm e^{C_1}$，含 $C=0$ 即 $y=0$）。

同类题延伸：$y'=f(x)\cdot y$ 型是最简单的可分离变量方程。$\int\dfrac{2x}{1+x^2}\mathrm dx=\ln(1+x^2)$ 是经典积分，记住 $\dfrac{2x}{1+x^2}$ 是 $\ln(1+x^2)$ 的导数。最终常数 $C$ 可正可负可零。

解

分离变量：$\dfrac{\mathrm dy}{y^2}=4x\,\mathrm dx$。

两边积分：

解出 $y$：$y=-\dfrac{1}{2x^2+C}$。

检查丢失的解：$y=0$ 代入原方程 $y'=0$，左边 $0$，右边 $0$，是解。但 $y=0$ 不能由通解取某个 $C$ 得到（$C=\infty$），所以是奇解。一般写通解即可。

同类题延伸：$y'=f(x)\cdot y^2$ 型——分离后左边是 $\int y^{-2}\mathrm dy=-y^{-1}$。如果分离时除以 $y^2$，要检查 $y=0$ 是否为解。这类方程的解有「爆破」现象——$2x^2+C=0$ 时 $y\to\infty$。

解

令 $u=\dfrac{y}{x}$，$y=ux$，$y'=u+xu'$。代入：

分离变量：

部分分式：$\dfrac{1}{u(1+u)}=\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{1+u}$。

回代 $u=\dfrac{y}{x}$：

$y(1-Cx)=Cx^2$，即 $y=\dfrac{Cx^2}{1-Cx}$。

同类题延伸：齐次方程的固定流程：换元 → 分离变量 → 部分分式积分 → 回代。部分分式 $\dfrac{1}{u(1+u)}=\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{1+u}$ 是高频操作。回代后的整理可能需要解 $y$ 的方程——如果很难解，保持隐式形式也可以。

解

(1) 标准形式：$y'-\dfrac{2}{x}y=x^4$。$P(x)=-\dfrac{2}{x}$，$Q(x)=x^4$。

$\int P\mathrm dx=-2\ln x=\ln x^{-2}$，积分因子 $\mu=x^{-2}$。

两边乘 $x^{-2}$：$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\!\left(\dfrac{y}{x^2}\right)=x^2$。

(2) 关于 $y$ 非线性（$y^3\sin y$），但关于 $x$ 是线性的！改写为：

标准形式：$x'+\dfrac{2}{y}x=y^2\sin y$。$P(y)=\dfrac{2}{y}$，$\int P\mathrm dy=2\ln y=\ln y^2$，积分因子 $\mu=y^2$。

右边需多次分部积分（$\int y^4\sin y\,\mathrm dy$），得：

(3) 两边对 $x$ 求导（$f(x)=x^2-\int_1^x f(t)\mathrm dt$，变上限积分求导）：

积分因子 $e^x$：$(e^xf)'=2xe^x$。

$f=2(x-1)+Ce^{-x}$。初值：$f(1)=1^2-\int_1^1f=1$ → $0+C/e=1$ → $C=e$。

同类题延伸：(1) 标准一阶线性直接套公式。(2) 当方程关于 $y$ 非线性但关于 $x$ 线性时，交换角色（把 $x$ 看成 $y$ 的函数）是关键技巧。(3) 含变上限积分的方程——先求导转化为微分方程，再用初值确定常数。初值一般从原方程（令 $x$ 为积分下限）获得。

解

伯努利方程：$y'+P(x)y=Q(x)y^n$，这里 $n=2$。

换元：$u=\dfrac{1}{y}=y^{-1}$，$u'=-\dfrac{y'}{y^2}$。

原方程两边除以 $y^2$：$\dfrac{y'}{y^2}+2x\cdot\dfrac{1}{y}=x$，即 $-u'+2xu=x$。

积分因子 $e^{-x^2}$：$(e^{-x^2}u)'=-xe^{-x^2}$。

$u=\dfrac{1}{2}+Ce^{x^2}$，即 $\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}+Ce^{x^2}$。

同类题延伸：伯努利方程 $y'+Py=Qy^n$ 的固定套路：(1) 两边除以 $y^n$；(2) 令 $u=y^{1-n}$，化为一阶线性方程；(3) 用一阶线性公式求解。$n=2$ 时 $u=1/y$。注意 $y=0$ 可能是奇解（但本题 $y=0$ 代入得 $0=0$，确实是解）。

解

直接两次积分：

第一次：$y'=e^x+C_1$。

第二次：$y=e^x+C_1x+C_2$。

同类题延伸：$y''=f(x)$ 型是最简单的二阶方程——积分两次，每次加一个独立常数，通解有两个常数。如果给初值条件（如 $y(0)=a,y'(0)=b$），可以确定 $C_1,C_2$。

解

不显含 $y$，令 $p=y'$，$y''=p'$：

$y'=C_1e^{x^2}$，积分：$y=C_1\!\int e^{x^2}\mathrm dx+C_2$。

$\int e^{x^2}\mathrm dx$ 不能用初等函数表示（误差函数）。

同类题延伸：有些微分方程的解不能用初等函数表示，这是正常的。考试中如果出现这种情况，写到「积分形式」即可。$e^{x^2},\dfrac{\sin x}{x},\dfrac{1}{\ln x}$ 的原函数都不是初等函数——遇到这类积分不要死算。

解

不显含 $x$，令 $p=y'$，$y''=p\dfrac{\mathrm dp}{\mathrm dy}$：

积分：$p=y^2+C_1$，即 $y'=y^2+C_1$。

分离变量：$\displaystyle\int\frac{\mathrm dy}{y^2+C_1}=x+C_2$。

• $C_1>0$：$\dfrac{1}{\sqrt{C_1}}\arctan\dfrac{y}{\sqrt{C_1}}=x+C_2$
• $C_1=0$：$-\dfrac{1}{y}=x+C_2$，即 $y=-\dfrac{1}{x+C_2}$
• $C_1<0$：$\dfrac{1}{2\sqrt{|C_1|}}\ln\left|\dfrac{y-\sqrt{|C_1|}}{y+\sqrt{|C_1|}}\right|=x+C_2$

$p=0$ 的情况：$y'=0$ → $y=$ 常数，代入原方程 $0=2y\cdot0$，恒成立。即 $y=c$ 也是解。

同类题延伸：不显含 $x$ 的方程用 $y''=p\dfrac{\mathrm dp}{\mathrm dy}$ 降阶。分离 $p$ 时别忘了 $p=0$ 的情况（$y'=0$ 即 $y=$ 常数解）。$\int\dfrac{\mathrm dy}{y^2+C_1}$ 根据 $C_1$ 的符号有三种形式——$\arctan$、$-1/y$、$\mathrm{artanh}$，要分情况讨论。

解

理论基础：非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 非齐次的一个特解。

$y_2-y_1$ 和 $y_3-y_1$ 满足齐次方程（非齐次解之差满足对应齐次方程），且线性无关。

$y_1$ 是非齐次方程的一个特解。

同类题延伸：这是结构性理解题。核心定理：(1) 非齐次方程的两个解之差是齐次方程的解；(2) 齐次方程的两个线性无关解构成基础解系；(3) 任意一个非齐次解 + 齐次通解 = 非齐次通解。二阶方程的基础解系恰好含两个解。

解

第一步：特征方程

$r^2+4r-5=0$ → $(r-1)(r+5)=0$ → $r=1,-5$。

齐次通解：$Y=C_1e^x+C_2e^{-5x}$。

第二步：设特解

$f(x)=xe^x$：$P_1(x)=x$（一次多项式），$\alpha=1$。

$\alpha=1$ 是特征方程的单根（$k=1$），故设：

第三步：代入确定系数

$y_p=(Ax^2+Bx)e^x$，$y_p'=(2Ax+B)e^x+(Ax^2+Bx)e^x=(Ax^2+(2A+B)x+B)e^x$。

$y_p''=(2Ax+2A+B)e^x+(Ax^2+(2A+B)x+B)e^x=(Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B))e^x$。

代入 $y''+4y'-5y=xe^x$：

左边 $=e^x[Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B)+4Ax^2+4(2A+B)x+4B-5Ax^2-5Bx]$

$=e^x[(A+4A-5A)x^2+(4A+B+8A+4B-5B)x+(2A+2B+4B)]$

$=e^x[12Ax+(2A+6B)]$。

对比 $xe^x$：$12A=1$ → $A=\dfrac{1}{12}$；$2A+6B=0$ → $B=-\dfrac{1}{36}$。

同类题延伸：$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$ 型特解设法——关键判断 $\alpha$ 是几重特征根。$\alpha$ 不是根 $k=0$（设 $Q_n e^{\alpha x}$）；单根 $k=1$（设 $xQ_n e^{\alpha x}$）；重根 $k=2$（设 $x^2Q_n e^{\alpha x}$）。$Q_n$ 和 $P_n$ 同次。

解

特征方程：$r^2+4r-4=0$ → $r=\dfrac{-4\pm\sqrt{32}}{2}=-2\pm2\sqrt2$。

齐次通解：$Y=C_1e^{(-2+2\sqrt2)x}+C_2e^{(-2-2\sqrt2)x}$。

设特解：$f(x)=(2x-1)e^{2x}$，$\alpha=2$。$r=2$ 不是特征根（$r=-2\pm2\sqrt2\ne2$），故 $k=0$。

代入：$y_p'=2(Ax+B)e^{2x}+Ae^{2x}=(2Ax+A+2B)e^{2x}$。

$y_p''=2Ae^{2x}+2(2Ax+A+2B)e^{2x}=(4Ax+4A+4B)e^{2x}$。

左边 $=e^{2x}[(4Ax+4A+4B)+4(2Ax+A+2B)-4(Ax+B)]$

$=e^{2x}[(4A+8A-4A)x+(4A+4B+4A+8B-4B)]$

$=e^{2x}[8Ax+(8A+8B)]$。

对比 $(2x-1)e^{2x}$：$8A=2$ → $A=\dfrac{1}{4}$；$8A+8B=-1$ → $2+8B=-1$ → $B=-\dfrac{3}{8}$。

同类题延伸：本题 $\alpha=2$ 不是特征根，所以 $k=0$，比上题简单——不用多乘 $x$。对比 5.10（$\alpha=1$ 是单根，$k=1$）就能感受到 $k$ 取值对计算量的影响。代入确定系数是机械活，耐心展开就好。

解

(1) 特征方程 $r^2+3r-4=0$ → $r=1,-4$。

$f(x)=xe^x\cos2x$：$\alpha+\beta i=1+2i$。

$1+2i$ 不是特征根（特征根是实数 $1$ 和 $-4$），故 $k=0$。

$P(x)=x$ 是一次多项式，特解设为：

(2) 特征方程 $r^2-2r+4=0$ → $r=1\pm\sqrt3\,i$。

$f(x)=xe^x\cos(\sqrt3\,x)$：$\alpha+\beta i=1+\sqrt3\,i$。

$1+\sqrt3\,i$ 是特征根（单根），$k=1$。

同类题延伸：$f(x)=e^{\alpha x}[P\cos\beta x+Q\sin\beta x]$ 型特解设法：(1) 看 $\alpha+\beta i$ 是不是特征根；(2) 不是 $k=0$，是单根 $k=1$；(3) $\cos$ 和 $\sin$ 都要设，系数分别用 $A,B,...$（即使 $P$ 或 $Q$ 为零也要两个都设）。

解

特征方程：$r^2-3r+2=0$ → $r=1,2$。

叠加原理：$f=f_1+f_2=6e^x+x^2$，分别求特解再相加。

对 $f_1=6e^x$：$\alpha=1$ 是特征方程的单根（$k=1$）。

$y_{p1}=Axe^x$。$y_{p1}'=A(x+1)e^x$，$y_{p1}''=A(x+2)e^x$。

代入：$A(x+2)e^x-3A(x+1)e^x+2Axe^x=6e^x$。

$A[(x+2)-3(x+1)+2x]e^x=A\cdot(-1)\cdot e^x=6e^x$ → $A=-6$。$y_{p1}=-6xe^x$。

对 $f_2=x^2$：$\alpha=0$ 不是特征根（$k=0$）。

$y_{p2}=Bx^2+Cx+D$。$y_{p2}'=2Bx+C$，$y_{p2}''=2B$。

代入：$2B-3(2Bx+C)+2(Bx^2+Cx+D)=x^2$。

$2Bx^2+(-6B+2C)x+(2B-3C+2D)=x^2$。

对比：$2B=1$ → $B=\dfrac{1}{2}$；$-6B+2C=0$ → $C=\dfrac{3}{2}$；$2B-3C+2D=0$ → $1-\dfrac{9}{2}+2D=0$ → $D=\dfrac{7}{4}$。

同类题延伸：$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ 时用叠加原理——分别对 $f_1,f_2$ 设特解，最后相加。这是处理多项式+指数型混合右端的标准方法。注意每个特解的 $k$ 要分别判断。

解

实系数方程的复根成对出现：$r_{1,2}=1\pm2i$。

由 Vieta 定理（特征方程 $r^2+pr+q=0$）：

• $r_1+r_2=(1+2i)+(1-2i)=2=-p$ → $p=-2$
• $r_1r_2=(1+2i)(1-2i)=1+4=5=q$

同类题延伸：「已知特征根求方程」是反向题——用 Vieta 定理。实系数方程的复根必成对（$a\pm bi$），所以给一个复根就等于给了两个。对应齐次通解为 $y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$。